Gnugga geniknölarna. En paradox.

[reaper]

Okej jag gör ett försök:

Eftersom “trappan” kommer att fortsätta i all oändlighet, kommer ju arean av bassängbotten bli oändligt stor. Däremot kommer volymen att gå mot ett gränsvärde. Intuitivt tycker jag att volymen bör bli 4 kubikmeter. (tänk er 2 + summan (1/x), där x går från 1 till oändligheten) Eftersom djupet av bassängen i den grunda änden kommer närma sig noll, kan man ju tänka sig att detta går ihop. 🙄

Det löser sig, sa han som sket i poolen.

[Biologen]

Golvyta: 1 kvadratmeter

Volym: 1 kubikmeter

[zion]

Arean/golvytan kan inte mätas,den bara fortsätter och fortsätter i all oändlighet…?

*Edit* Bara måste vara så,fan legat sömnlös större delen av natten…..

[reaper]

en sådan basäng går inte att konstruera och därmed inte att mäta. stör mig på sånt här då det paradoxala är att förknippa det med “verkligeheten”. rent matematiskt går det helt enkelt emot oändligheten, men man kan få ett väldigt exakt värde (ifs beroende på hur många trappsteg man orkar mäta/hitta på.

s

[the_mighty]

vilka matematiska filosofer vi har här….synd att man sov bort matten i gymnasiet….

[Dr. Snuggles]

Tror livsnjutaren är inne på rätt spår, volymen borde vara V=2+1+0,5+0,25+0,125+0,0625… osv vilket har gränsvärdet 4.

[chong]

Jodå livsnjutaren har helt rätt.

Här följer ett resonemang kring problemet.

Hur stort är bassängens golv, alltså golvets area?

Den horisontella ytan på varje “trappsteg” är 1 kvadratmeter. För att få den sammanlagda arean av dessa ytor måste man räkna ut hur många trappsteg bassängen rymmer.

Hur många trappsteg rymmer bassängen?

Det första trappsteget är 1 meter högt.
Nästa steg är 50 cm.
Nästa 25 cm.
Nästa 12,5 cm.
Osv.

Hur många trappsteg blir det innan man har kommit ända upp, dvs. när blir trappstegens höjd sammanlagt 2 meter?

Om man adderar trappstegens höjd så får man summan s = 1 + 0,5 +0,25 + 0,125 + …

Testar man att addera en stund, så ser man att summan aldrig tycks överstiga 2, hur många trappsteg man än plussar på.

Och så är det faktiskt.

Trappstegens höjd är en geometrisk serie med formen a + a*k + a*k2 + a*k3… , där i det här fallet a = 1 och k är 0,5.
Summan av en sådan oändlig geometrisk serie (där -1 Vad är då arean av de horisontella ytorna?

Den horisontella ytan på varje trappsteg har en area av 1 m * 1 m = 1 kvm. Och eftersom det finns oändligt många trappsteg, så blir den sammanlagda arean 1 kvm + 1 kvm + 1 kvm + 1 kvm +…. i all oändlighet. Arean blir oändligt stor.

Vad är då bassängens volym?

Den djupaste delen av bassängen har volymen 2*1*1 kvm, dvs 2 kubikm.
Nästa “steg” av bassängen har volymen 1*1*1 = 1 kubikm.
Nästa steg: 0,5*1*1 = 0,5 kubikm.

Här får vi återigen en geometrisk talserie. a = 2 och k = 0,5. Summan: 2 / (1-0,5) = 4.

Den sammanlagda volymen kommer att steg för steg (i oändlighet) närma sig 4 kubikmeter, men aldrig bli större än 4 kubikmeter. Dvs. trots att det handlar om en bassäng med ett oändligt lång “golv”, så är volymen av bassängen ändlig:
4 kubikmeter.

Paradoxen

Man kan fylla bassängen till bredden med 4 kubikmeter vätska (t.ex. färg). Men samma mängd färg skulle inte räcka till för att måla bassänggolvet, som är oändligt stort!

Mvh chong.

PS. Flera problem kommer snart. DS

[MrBurns]

Jo livsnjutaren har helt rätt

Biologen du får leta upp din gamla matteböcker tror jag 😆

[Biologen]

Jo lite pantad är man ju. Jag trodde bassängen var 1×1 meter *hihi* och såg bara ett problem, nämligen om de vertikala delarna på trappstegen (eller trappsteget som jag trodde) räknades som golv eller bara de horisontala.

Men men om alla på en gång hade trott på livsnjutaren så hade det varit helt tomt i tråden, eller?

Kommer på nästa chong…………………………………………eller inte 😆

[chong]

Den här var ju egentligen ingen tankenöt i vanlig bemärkelse. Det roligaste är ju paradoxen att bassängen inte rymmer nog med färg att måla bassängen.

Mvh chong.

[GrandNastyB]

Om färglagret vore oändligt tunnt (vilket iofs är omöjligt i praktiken) skulle färgen räcka. När jag tänker efter så förutsätts det i paradoxen att färgen kan utgöra ett oändligt tunnt lager. Annars skulle aldrig volymen bli riktigt 4m3.